র‌্যান্ডমাইজড বৃহৎ-স্কেল কোয়াটার্নিয়ন ম্যাট্রিক্স আনুমানিকতা: ব্যবহারিক রেঞ্জফাইন্ডার এবং ওয়ান-পাস অ্যালগরিদম

১. ভূমিকা

This work addresses a critical bottleneck in randomized algorithms for low-rank approximation of large-scale quaternion matrices. While such matrices are pivotal in color image processing and multidimensional signal analysis, their non-commutative nature makes standard orthonormalization procedures (like QR decomposition) computationally expensive, slowing down the core "rangefinder" step.

লেখকরা দুটি অভিনব, ব্যবহারিক কোয়াটার্নিয়ন রেঞ্জফাইন্ডার প্রস্তাব করেছেন—যার একটি ইচ্ছাকৃতভাবে অ-অর্থোনর্মাল কিন্তু সু-শর্তযুক্ত—এবং সেগুলিকে একটি ওয়ান-পাস অ্যালগরিদমে সংহত করেছেন। এই পদ্ধতিটি বৃহৎ ডেটাসেট পরিচালনার কার্যকারিতা উল্লেখযোগ্যভাবে বৃদ্ধি করে যেখানে মেমরি এবং ওয়ান-পাস সীমাবদ্ধতা সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ।

১.১. পটভূমি

Low-rank matrix approximation (LRMA) মাত্রা হ্রাস এবং ডেটা সংকোচনের ভিত্তি। HD ভিডিও, বৈজ্ঞানিক সিমুলেশন (যেমন, 3D Navier-Stokes), এবং AI প্রশিক্ষণ সেট থেকে উত্থিত বৃহৎ ডেটার জন্য এমন অ্যালগরিদমের প্রয়োজন যা শুধুমাত্র নির্ভুল নয়, সময়, স্টোরেজ এবং মেমরিতেও দক্ষ। র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম, বিশেষত HMT (Halko, Martinsson, Tropp) কাঠামো, নির্ধারিত SVD-এর তুলনায় একটি আকর্ষণীয় গতি-নির্ভুলতার বিনিময় প্রদান করে। এক-পাস প্রকরণ, একাধিক স্কেচ ব্যবহার করে, স্ট্রিমিং ডেটা বা I/O-বাউন্ড সমস্যার জন্য বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ যেখানে মূল ডেটা ম্যাট্রিক্স পুনরায় দেখা অসম্ভব।

Quaternion matrices ($\mathbb{H}^{m \times n}$), যা জটিল সংখ্যাকে প্রসারিত করে, RGB রঙের চিত্র (খাঁটি কোয়াটার্নিয়ন হিসাবে) বা 3D ঘূর্ণনের মতো মাল্টি-চ্যানেল ডেটা উপস্থাপনের জন্য অত্যন্ত উপযুক্ত। তবে, তাদের বীজগণিত লিনিয়ার অ্যালজেব্রা অপারেশনগুলিকে জটিল করে তোলে। সাম্প্রতিক বছরগুলিতে র্যান্ডমাইজড কোয়াটার্নিয়ন LRMA-তে আগ্রহ বৃদ্ধি পেয়েছে, যা HMT ব্লুপ্রিন্টের উপর ভিত্তি করে কিন্তু কোয়াটার্নিয়ন-নির্দিষ্ট অর্থোনর্মালাইজেশনের গণনামূলক খরচের সাথে সংগ্রাম করছে।

1.2. Quaternion Rangefinders

রেঞ্জফাইন্ডার হল র্যান্ডমাইজড LRMA-এর হৃদয়। একটি লক্ষ্য র‍্যাঙ্ক $k$-এর জন্য, এটি একটি অর্থোনর্মাল ম্যাট্রিক্স $Q$ খুঁজে পায় যার কলামগুলি ইনপুট ম্যাট্রিক্স $A$-এর রেঞ্জের আনুমানিক। বাস্তব/জটিল ডোমেনে, এটি QR ডিকম্পোজিশনের মাধ্যমে দক্ষতার সাথে করা হয়। কোয়াটার্নিয়নের জন্য, কাঠামো-সংরক্ষণকারী QR ধীর। এই গবেষণাপত্রের মূল উদ্ভাবন হল কঠোর অর্থোনর্মালিটির প্রয়োজনীয়তা এড়িয়ে যাওয়া। দক্ষ জটিল-সংখ্যা লাইব্রেরিগুলির সুবিধা নিয়ে (যেহেতু একটি কোয়াটার্নিয়নকে এক জোড়া জটিল সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে), তারা দ্রুত বিকল্পগুলি তৈরি করে। একটি রেঞ্জফাইন্ডার একটি ভাল-কন্ডিশন্ড ভিত্তি $\Psi$ দেয়, একটি অর্থোনর্মাল $Q$-এর পরিবর্তে, যার ত্রুটি সীমা $\kappa(\Psi)$-এর সমানুপাতিক, এর কন্ডিশন নম্বর।

2. Core Insight & Logical Flow

মূল অন্তর্দৃষ্টি: কোয়াটার্নিয়ন রেঞ্জফাইন্ডারে অর্থোনর্মালিটির প্রতি আসক্তি এমন এক বিলাসিতা যা আর ব্যাপক আকারে বহন করা সম্ভব নয়। প্রকৃত বাধা আসন্নীকরণ ত্রুটি নয়, বরং গণনাগত ওভারহেড। এই গবেষণাটি একটি ব্যবহারিক বিনিময় করে: সামান্য খারাপ-কন্ডিশন্ড ভিত্তি গ্রহণ করুন যদি এর অর্থ হয় আপনি একটি 5GB ডেটাসেট একবারে প্রক্রিয়া করতে পারেন। এটি একটি ক্লাসিক ইঞ্জিনিয়ারিং পদক্ষেপ—যে সীমাবদ্ধতা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ (এখানে, সময়/মেমরি) তার জন্য অপ্টিমাইজ করুন, পাঠ্যপুস্তকের আদর্শের জন্য নয়।

যৌক্তিক প্রবাহ: যুক্তিটি অত্যন্ত তীক্ষ্ণ: ১) চোক পয়েন্ট চিহ্নিত করুন (কোয়াটার্নিয়ন কিউআর)। ২) একটি চতুর ওয়ার্কআরাউন্ড প্রস্তাব করুন (জটিল গাণিতিক রূপে ম্যাপ করুন, LAPACK-এর মতো দক্ষ লাইব্রেরি ব্যবহার করুন)। ৩) প্রবর্তিত ত্রুটিকে কঠোরভাবে আবদ্ধ করুন (দেখান যে এটি $\kappa(\Psi)$ দ্বারা নিয়ন্ত্রিত)। ৪) বাস্তব, বৃহদায়তন সমস্যায় বৈধতা যাচাই করুন (নেভিয়ার-স্টোকস, বিশৃঙ্খল ব্যবস্থা, বিশাল চিত্র)। তত্ত্ব (গাউসিয়ান/সাব-গাউসিয়ান এমবেডিং-এর জন্য ত্রুটি সীমা) থেকে অনুশীলনে (জিবি-স্কেল কম্প্রেশন) প্রবাহ নিরবিচ্ছিন্ন এবং প্রত্যয়জনক।

3. Strengths & Flaws

শক্তি:

• ব্যবহারিক প্রকৌশল: বিদ্যমান, অপ্টিমাইজড জটিল লাইব্রেরি ব্যবহার করা চমৎকার। এটি একটি "চাকা পুনরায় আবিষ্কার করবেন না" পদ্ধতি যা অবিলম্বে ব্যবহারিক উপযোগিতা বৃদ্ধি করে।
• স্কেলেবিলিটি প্রদর্শিত: মাল্টি-জিবি বাস্তব-বিশ্ব ডেটাসেট (CFD এবং ক্যাওটিক সিস্টেম) এর উপর পরীক্ষা এটিকে একটি তাত্ত্বিক অনুশীলন থেকে বৈজ্ঞানিক কম্পিউটিংয়ে তাৎক্ষণিক প্রয়োগের একটি সরঞ্জামে রূপান্তরিত করে।
• তাত্ত্বিক ভিত্তি: সম্ভাব্য ত্রুটি সীমা প্রদান করা কেবল একাডেমিক সাজসজ্জা নয়; এটি ব্যবহারকারীদের অ্যালগরিদমের নির্ভরযোগ্যতার উপর আস্থা দেয়।

Flaws & Open Questions:

• হার্ডওয়্যার-নির্দিষ্ট অপ্টিমাইজেশন: কাগজটি দক্ষতার ইঙ্গিত দেয় কিন্তু GPU-ত্বরিত কোয়াটার্নিয়ন কার্নেলের বিরুদ্ধে গভীর বেঞ্চমার্কিংয়ের অভাব রয়েছে। Quaternion Neural Networks (QNN) গবেষণার মতো প্রকল্পগুলিতে দেখা গেছে, হার্ডওয়্যার-সচেতন নকশা ক্রমবর্ধমান লাভের কারণ হতে পারে।
• এম্বেডিংয়ের সার্বজনীনতা: যদিও গাউসিয়ান/সাব-গাউসিয়ান এম্বেডিং কভার করা হয়েছে, অতি-বৃহৎ-স্কেল সমস্যাগুলিতে সাধারণ খুব স্পার্স, ডেটা-সচেতন স্কেচের (যেমন CountSketch) কার্যকারিতা অন্বেষণ করা হয়নি।
• সফটওয়্যার ইকোসিস্টেম ফাঁক: একটি ওপেন-সোর্স, প্রোডাকশন-রেডি বাস্তবায়ন ছাড়া পদ্ধতিটির মূল্য হ্রাস পায়। কোয়াটার্নিয়ন ML সম্প্রদায়, জটিল নেটওয়ার্কের জন্য TensorFlow/PyTorch-এর প্রাথমিক দিনগুলির মতোই, এটি গ্রহণ করতে শক্তিশালী লাইব্রেরিগুলির প্রয়োজন।

4. বাস্তবায়নযোগ্য অন্তর্দৃষ্টি

অনুশীলনকারী এবং গবেষকদের জন্য:

1. তাৎক্ষণিক প্রয়োগ: 4D বৈজ্ঞানিক ডেটা (যেমন জলবায়ু মডেল, তরল গতিবিদ্যা) সংকোচনে কাজ করা দলগুলোর এই অ্যালগরিদমের প্রোটোটাইপ তৈরি করা উচিত। আউট-অফ-কোর গণনার জন্য ওয়ান-পাস বৈশিষ্ট্যটি একটি গেম-চেঞ্জার।
2. ইন্টিগ্রেশন পথ: প্রস্তাবিত রেঞ্জফাইন্ডারগুলি বিদ্যমান কোয়াটার্নিয়ন র্যান্ডমাইজড এসভিডি/কিউএলপি কোডে একটি ড্রপ-ইন প্রতিস্থাপন হিসাবে কিউআর ধাপের জন্য রেট্রোফিট করা যেতে পারে, যা সরাসরি গতি বৃদ্ধির প্রতিশ্রুতি দেয়।
3. গবেষণা ভেক্টর: এই কাজটি অন্যান্য কোয়াটার্নিয়ন পচন (যেমন, ইউটিভি, কিউএলপি) এর জন্য "আনুমানিক অর্থোনর্মালিটি"-র দরজা খুলে দেয়। মূল ধারণা—গতির বিনিময়ে একটি কঠোর বৈশিষ্ট্য বাণিজ্য করা—ব্যাপকভাবে প্রযোজ্য।
4. বেঞ্চমার্কিং অপরিহার্য: ভবিষ্যতের কাজে নতুন সর্বোচ্চ মান প্রতিষ্ঠার জন্য প্রমিত চতুর্মাত্রিক ডেটাসেট বেঞ্চমার্কে (যেমন, বড় রঙিন ভিডিও ভলিউম) সরাসরি তুলনা অন্তর্ভুক্ত করতে হবে।

5. Technical Details & Mathematical Framework

একটি চতুর্মাত্রিক ম্যাট্রিক্স $A \in \mathbb{H}^{m \times n}$ এর জন্য ওয়ান-পাস অ্যালগরিদম এই স্কেচ-এন্ড-সল্ভ প্যারাডাইম অনুসরণ করে:

1. স্কেচিং: দুটি এলোমেলো এম্বেডিং ম্যাট্রিক্স $\Omega \in \mathbb{H}^{n \times (k+p)}$ এবং $\Phi \in \mathbb{H}^{l \times m}$ (যেখানে $l \ge k+p$) তৈরি করুন। স্কেচ $Y = A\Omega$ এবং $Z = \Phi A$ গণনা করুন।
2. রেঞ্জফাইন্ডার (প্রস্তাবিত): $Y$ থেকে, এর রেঞ্জের জন্য একটি ভিত্তি $\Psi \in \mathbb{H}^{m \times (k+p)}$ গণনা করুন। এখানেই নতুন পদ্ধতিগুলি প্রযোজ্য, সম্পূর্ণ quaternion QR এড়িয়ে। মূল বিষয় হল $\Psi$ এমনভাবে গণনা করা যাতে কিছু $B$-এর জন্য $Y = \Psi B$ হয়, এবং $\kappa(\Psi)$ ছোট রাখা হয়।
3. B-এর জন্য সমাধান করুন: দ্বিতীয় স্কেচ ব্যবহার করে, $B \approx (\Phi \Psi)^\dagger Z$ গণনা করুন, যেখানে $\dagger$ pseudoinverse নির্দেশ করে। এটি $A$-তে পুনরায় যাওয়া এড়ায়।
4. Low-Rank Approximation: আনুমানিকটি হল $A \approx \Psi B$। ছোট $B$ ম্যাট্রিক্সের উপর পরবর্তী একটি SVD চূড়ান্ত র‍্যাঙ্ক-$k$ আনুমানিক প্রদান করে।

6. Experimental Results & Performance

গবেষণাপত্রটি তার দাবিগুলোকে আকর্ষণীয় সংখ্যাগত পরীক্ষার মাধ্যমে যাচাই করে:

• গতিবৃদ্ধি: প্রস্তাবিত রেঞ্জফাইন্ডারগুলি, যখন এক-পাস অ্যালগরিদমে সংহত করা হয়, প্রদর্শন করে রানটাইমে উল্লেখযোগ্য হ্রাস বিশেষত যখন ম্যাট্রিক্সের মাত্রা কয়েক হাজারে বৃদ্ধি পায়, তখন ঐতিহ্যবাহী স্ট্রাকচার-প্রিজারভিং কোয়াটার্নিয়ন QR ব্যবহারের তুলনায়।
• বৃহৎ-পরিসরের তথ্য সংকোচন:
  • 3D Navier-Stokes Equation: A dataset of size ৫.২২ জিবি সংকুচিত করা হয়েছিল। ওয়ান-পাস অ্যালগরিদমটি প্রভাবশালী প্রবাহ কাঠামো সফলভাবে আহরণ করেছে, যা ডেটা স্টোরেজ এবং রিয়েল-টাইম বিশ্লেষণের জন্য কম্পিউটেশনাল ফ্লুইড ডাইনামিক্সে এর উপযোগিতা প্রদর্শন করে।
  • 4D Lorenz-type Chaotic System: A 5.74 GB একটি উচ্চ-মাত্রিক বিশৃঙ্খল ব্যবস্থা থেকে ডেটাসেট প্রক্রিয়াকরণ করা হয়েছিল। অ্যালগরিদমটি একটি নিম্ন-র্যাঙ্ক আনুমানিকতার মাধ্যমে মূল আকর্ষণকারী গতিবিদ্যা ধারণ করেছে, যা জটিল ব্যবস্থায় মডেল হ্রাসের জন্য প্রাসঙ্গিক।
  • Giant Image Compression: একটি রঙিন চিত্র যার আকার 31,365 × 27,125 পিক্সেল (একটি খাঁটি কোয়াটার্নিয়ন ম্যাট্রিক্স হিসাবে উপস্থাপনযোগ্য) সংকুচিত করা হয়েছিল। চাক্ষুষ গুণমান বনাম সংকোচন অনুপাতের ভারসাম্য কার্যকরভাবে পরিচালনা করা হয়েছিল, যা চিত্র প্রক্রিয়াকরণে সরাসরি প্রয়োগ প্রমাণ করে।
• Error Profile: তত্ত্ব অনুযায়ী, নন-অর্থোনর্মাল রেঞ্জফাইন্ডারের আনুমানিক ত্রুটি এর কন্ডিশন নম্বর $\kappa(\Psi)$ এর সাথে সম্পর্কিত ছিল, কিন্তু ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে গ্রহণযোগ্য সীমার মধ্যে ছিল, এবং দক্ষতা বৃদ্ধির তুলনায় তা অত্যন্ত কম ছিল।

চার্ট ব্যাখ্যা: যদিও PDF টেক্সটে স্পষ্ট চিত্র অন্তর্ভুক্ত নেই, বর্ণিত ফলাফলগুলি পারফরম্যান্স চার্টের ইঙ্গিত দেয় যেখানে x-অক্ষ হবে ম্যাট্রিক্স মাত্রা বা ডেটাসেটের আকার, এবং y-অক্ষ লগারিদমিক-স্কেল রানটাইম দেখাবে। প্রস্তাবিত পদ্ধতির বক্ররেখা "ক্লাসিক্যাল কোয়াটার্নিয়ন QR" পদ্ধতির তুলনায় অনেক কম ঢাল দেখাবে, যা এর উচ্চতর স্কেলযোগ্যতা তুলে ধরে। দ্বিতীয় সেটের চার্টগুলিতে সম্ভবত আপেক্ষিক ত্রুটি বনাম র‍্যাঙ্ক $k$ প্লট করা থাকবে, যা দেখাবে নতুন পদ্ধতিগুলি তাত্ত্বিক বেসলাইনের কাছাকাছি রয়েছে।

৭. বিশ্লেষণ কাঠামো: একটি নন-কোড কেস স্টাডি

Scenario: একটি গবেষণা দল একটি বিমানের ডানার চারপাশে অশান্ত প্রবাহ সিমুলেট করছে, সময়-সমাধান করা 3D বেগ এবং চাপ ক্ষেত্র (4D ডেটা) তৈরি করছে। প্রতিটি স্ন্যাপশট হল ভেক্টরের একটি 3D গ্রিড, যা একটি খাঁটি কোয়াটার্নিয়ন ক্ষেত্র হিসাবে এনকোড করা যেতে পারে। 10,000-এরও বেশি সময় ধাপে, এটি একটি বিশাল স্পেসটাইম কোয়াটার্নিয়ন টেনসর তৈরি করে।

চ্যালেঞ্জ: Storing all raw data (potentially >10 TB) is impossible. They need to identify coherent structures (eddies, waves) for analysis and reduce storage.

প্রস্তাবিত কাঠামোর প্রয়োগ:

1. টেন্সর ম্যাট্রিসাইজেশন: 4D টেন্সরটি একটি লম্বা ও সরু কোয়াটার্নিয়ন ম্যাট্রিক্স $A$-তে উন্মোচিত হয়, যেখানে প্রতিটি কলাম একটি স্থানিক স্ন্যাপশট যা ভেক্টরে রূপান্তরিত হয়েছে।
2. ওয়ান-পাস স্কেচিং: সিমুলেশন চলার সময়, এটি স্ন্যাপশট স্ট্রিম করে। অ্যালগরিদম স্কেচ Y এবং Z তৈরি করতে র্যান্ডম প্রজেকশন Ω এবং Φ অন-দ্য-ফ্লাই প্রয়োগ করে, সম্পূর্ণ A কখনও সংরক্ষণ না করেই।
3. দক্ষ রেঞ্জফাইন্ডার: সিমুলেশনের শেষে, দ্রুত, নন-অর্থোনরমাল রেঞ্জফাইন্ডার Y প্রক্রিয়া করে ভিত্তি Ψ পায়, যা প্রভাবশালী প্রবাহ মোডগুলিকে উপস্থাপন করে।
4. ফলাফল: দলটি একটি নিম্ন-পদ মডেল $A \approx \Psi B$ পায়। ম্যাট্রিক্স $\Psi$ শীর্ষ $k$টি স্থানিক মোড (যেমন, বৃহৎ-স্কেলের ঘূর্ণি) ধারণ করে, এবং $B$ তাদের সময়গত বিবর্তন ধারণ করে। স্টোরেজ TBs থেকে GBs-এ হ্রাস পায়, এবং মডেলটি দ্রুত ভিজ্যুয়ালাইজেশন, নিয়ন্ত্রণ, অথবা একটি হ্রাস-ক্রম মডেল হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে।

8. Future Applications & Research Directions

এই কাজের প্রভাব উপস্থাপিত উদাহরণগুলির বাইরেও প্রসারিত:

• কোয়ান্টাম মেশিন লার্নিং: ক্যাটারনিয়ন নেটওয়ার্কগুলি (যা 3D/4D ডেটার জন্য স্বাভাবিকভাবে উপযুক্ত) জনপ্রিয়তা অর্জন করছে। এই নেটওয়ার্কগুলির প্রশিক্ষণে বড় ক্যাটারনিয়ন ওজন ম্যাট্রিক্স জড়িত। দ্রুত, র্যান্ডমাইজড লো-র্যাঙ্ক আনুমানিকতা প্রশিক্ষণকে ত্বরান্বিত করতে পারে (আনুমানিক গ্রেডিয়েন্ট গণনার মাধ্যমে) বা ওভার-প্যারামিটারাইজড মডেলগুলির সংকোচন সক্ষম করতে পারে, যা বাস্তব-মানের এলএলএম-এ ব্যবহৃত কৌশলগুলির অনুরূপ।
• রিয়েল-টাইম হাইপারস্পেক্ট্রাল ইমেজিং: হাইপারস্পেক্ট্রাল কিউব (x, y, তরঙ্গদৈর্ঘ্য) কোয়াটার্নিয়ন অ্যারে হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে। ওয়ান-পাস অ্যালগরিদম কঠোর মেমরি সীমাবদ্ধতা সহ স্যাটেলাইট বা মেডিকেল ইমেজিং সিস্টেমে অনবোর্ড, রিয়েল-টাইম কম্প্রেশন এবং অ্যানোমালি শনাক্তকরণ সক্ষম করতে পারে।
• ডাইনামিক গ্রাফ বিশ্লেষণ: ভেক্টোরিয়াল এজ বৈশিষ্ট্য (যেমন, 3D ইন্টারঅ্যাকশন শক্তি) সহ সময়-বিবর্তনশীল গ্রাফ কোয়াটার্নিয়ন অ্যাডজেসেন্সি ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে মডেল করা যেতে পারে। র্যান্ডমাইজড অ্যাপ্রক্সিমেশন অত্যন্ত বড় টেম্পোরাল নেটওয়ার্কের বিশ্লেষণ সহজতর করতে পারে।
• পরবর্তী প্রজন্মের গবেষণার দিকনির্দেশ:
  1. হার্ডওয়্যার-সফটওয়্যার সহ-নকশা: প্রস্তাবিত রেঞ্জফাইন্ডার লজিক স্থানীয়ভাবে বাস্তবায়নকারী বিশেষায়িত কার্নেল (GPU/TPU-এর জন্য) তৈরি করা, যা জটিল গাণিতিক "ঘুরপথ" এড়িয়ে চলে, আরও গতি আনলক করতে পারে।
  2. Streaming & Online Learning: সম্পূর্ণ স্ট্রিমিং সেটিংসের জন্য অ্যালগরিদম অভিযোজিত করা, যেখানে ডেটা পয়েন্ট ক্রমাগত আসতে থাকে এবং নিম্ন-র্যাঙ্ক মডেলটিকে ধাপে ধাপে আপডেট করতে হয় (সত্যিকারের অনলাইন ওয়ান-পাস)।
  3. মাল্টি-চ্যানেল ডেটাতে ফেডারেটেড লার্নিং: কুয়াটার্নিয়ন ডেটা ডিভাইস জুড়ে বিভক্ত এমন একটি বিতরণকৃত সেটিং-এ কাঠামোটি প্রসারিত করা, এবং কাঁচা ডেটা ভাগ না করেই একটি গ্লোবাল নিম্ন-র্যাঙ্ক মডেল শেখার জন্য স্কেচগুলি একত্রিত করা।
  4. স্বয়ংক্রিয় পার্থক্যের সাথে সংহতকরণ: PyTorch-এর মতো গভীর শিক্ষার কাঠামোর মধ্যে একটি স্তর হিসাবে ব্যবহারের জন্য অ্যালগরিদমের একটি পার্থক্যযোগ্য সংস্করণ তৈরি করা, যা অন্তর্নির্মিত মাত্রা হ্রাসের সাথে শেষ-থেকে-শেষ শিক্ষা সক্ষম করে।

9. References & Further Reading

• প্রাথমিক উৎস: Chang, C., & Yang, Y. (2024). র‌্যান্ডমাইজড বৃহৎ-স্কেল কোয়াটার্নিয়ন ম্যাট্রিক্স আনুমানিকতা: ব্যবহারিক রেঞ্জফাইন্ডার এবং ওয়ান-পাস অ্যালগরিদম. arXiv:2404.14783v2.
• Halko, N., Martinsson, P. G., & Tropp, J. A. (2011). Finding structure with randomness: Probabilistic algorithms for constructing approximate matrix decompositions. SIAM Review, 53(2), 217-288. (The seminal HMT paper).
• Tropp, J. A., et al. (2017). Practical sketching algorithms for low-rank matrix approximation. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. (One-pass algorithm foundation).
• Zhu, X., et al. (2018). Quaternion neural networks: State-of-the-art and research challenges. IEEE Access. (কোয়াটার্নিয়ন ML অ্যাপ্লিকেশনের প্রসঙ্গে)।
• Isola, P., et al. (2017). Image-to-Image Translation with Conditional Adversarial Networks. CVPR. (CycleGAN, একটি ক্ষেত্রের উদাহরণ—ছবি অনুবাদ—যেখানে বহু-চ্যানেল ডেটা ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় যেখানে কোয়াটার্নিয়ন পদ্ধতি প্রয়োগ করা যেতে পারে)।
• LAPACK Library: https://www.netlib.org/lapack/ (এই কাজে ব্যবহৃত অপ্টিমাইজড লিনিয়ার বীজগণিত লাইব্রেরির ধরন)।
• কোয়াটার্নিয়ন সমর্থন সহ টেন্সরলি লাইব্রেরি: http://tensorly.org/ (একটি আধুনিক টেন্সর লাইব্রেরির উদাহরণ যা বিভিন্ন ব্যাকএন্ড অন্বেষণ করে, প্রয়োজনীয় সফটওয়্যার ইকোসিস্টেমের নির্দেশক)।